1. 常用等价无穷小 (x→0)
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正弦函数
sin x ~ x
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对数函数
ln(1+x) ~ x
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指数函数
ex - 1 ~ x
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余弦函数
1 - cos x ~ x2/2
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幂函数 (伯努利)
(1+x)α - 1 ~ αx
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2. 导数与微分
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幂函数求导
(xμ)' = μxμ-1
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正切求导
(tan x)' = sec2x
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反正弦求导
(arcsin x)' = 1/√(1-x2)
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反正切求导
(arctan x)' = 1/(1+x2)
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乘积法则 (莱布尼茨)
(uv)' = u'v + uv'
3. 积分公式表
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倒数积分
∫ 1/x dx = ln|x| + C
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正切积分
∫ tan x dx = -ln|cos x|
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有理函数积分
∫ 1/(a2+x2) = (1/a)arctan(x/a)
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无理函数积分
∫ 1/√(a2-x2) = arcsin(x/a)
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分部积分法
∫ udv = uv - ∫ vdu
4. 泰勒公式 (x→0)
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sin x
x - x3/3! + ...
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cos x
1 - x2/2! + x4/4!
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e^x
1 + x + x2/2! + ...
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几何级数
1/(1-x) = 1 + x + x2...
5. 三角函数变换
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基本恒等式
sin2x + cos2x = 1
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二倍角正弦
sin 2x = 2sin x cos x
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二倍角余弦
cos 2x = 2cos2x - 1
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降幂公式 (正弦)
sin2x = (1-cos 2x)/2
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降幂公式 (余弦)
cos2x = (1+cos 2x)/2
6. 几何应用 (考研重点)
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旋转体体积 (绕X轴)
V = π ∫ f2(x) dx
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旋转体体积 (绕Y轴)
V = 2π ∫ x|f(x)| dx
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平面曲线弧长 (直角坐标)
L = ∫ √(1+[f'(x)]2) dx
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平面区域面积 (二重积分)
Area = ∫∫ dxdy
7. ⚠️ 高数易错点总结
不定积分结果
千万别忘了 + C
定积分换元
上下限必须跟着换
洛必达法则条件
必须是 0/0 或 ∞/∞ 型
奇函数在对称区间积分
结果直接为 0 (秒杀技巧)
拐点坐标
拐点是点(x,y)，不是横坐标x